Question

17．已知定义在R上的函数$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$是奇函数．
（1）求实数a，b的值；
（2）判断f（x）的单调性，并用函数的单调性定义证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用函数是奇函数，通过定义利用待定系数法求解即可．
（2）利用函数的单调性的定义证明求解即可．

解答 解：（1）因为$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$定义域为R且是奇函数，故f（-x）=f（x）对于任意x∈R恒成立，
即有$f（-x）+f（x）=\frac{{b-{2^{-x}}}}{{{2^{-x}}+a}}+\frac{{b-{2^x}}}{{{2^x}+a}}$=$\frac{{（b-a）（{2^x}+{2^{-x}}）+2ab-2}}{{（{2^{-x}}+a）（{2^x}+a）}}=0$对于任意x∈R恒成立，
于是有$\left\{\begin{array}{l}b-a=0\\ 2ab-2=0\end{array}\right.$解得a=b=1或a=b=-1，
又f（x）的定义域为R，所以a≥0，
故所求实数a，b的值分别为a=1，b=1．
（2）由（1）可得函数f（x）的解析式为$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^x}+1}}$，f（x）在定义域R上为单调减函数．
用函数的单调性定义证明如下：
在定义域R上任取两个自变量的值x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{1-{2^{x_1}}}}{{{2^{x_1}}+1}}-\frac{{1-{2^{x_2}}}}{{{2^{x_2}}+1}}=\frac{{2（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_2}}-{2^{x_1}}＞0$，
又${2^{x_1}}+1＞0$，${2^{x_2}}+1＞0$，
故有f（x₁）-f（x₂）＞0，即有f（x₁）＞f（x₂），
因此，根据函数单调性的定义可知，函数f（x）在定义域R上为减函数．

点评 本题考查函数的与方程的应用，考查函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．