Question

6．已知△ABC中内角A为钝角，则复数（sinA-sinB）+i（sinB-cosC）对应点在（　　）

• A． 第Ⅰ象限
• B． 第Ⅱ象限
• C． 第Ⅲ象限
• D． 第Ⅳ象限

Answer 1

分析 ①△ABC中内角A为钝角，可得A＞B，A=π-（B+C），∴sinA-sinB=sin（B+C）-sinB，根据A为钝角，可得0＜B＜B+C＜$\frac{π}{2}$，利用正弦函数的单调性即可得出sinA-sinB＞0．
②由0＜B+C＜$\frac{π}{2}$，可得0＜B＜$\frac{π}{2}$-C$＜\frac{π}{2}$，可得sinB＜sin（$\frac{π}{2}$-C）=cosC．即可复数（sinA-sinB）+i（sinB-cosC）对应点（sinA-sinB，sinB-cosC）在第四象限．

解答 解：①∵△ABC中内角A为钝角，∴A＞B，A=π-（B+C），
∴sinA-sinB=sin[π-（B+C）]-sinB=sin（B+C）-sinB，
∵A为钝角，∴0＜B＜B+C＜$\frac{π}{2}$，
∴sin（B+C）＞sinB，即sin（B+C）-sinB＞0，
则sinA-sinB＞0．
②∵0＜B+C＜$\frac{π}{2}$，∴0＜B＜$\frac{π}{2}$-C$＜\frac{π}{2}$，∴sinB＜sin（$\frac{π}{2}$-C）=cosC，
∴sinB＜cosC，
∴复数（sinA-sinB）+i（sinB-cosC）对应点（sinA-sinB，sinB-cosC）在第四象限．
故选：D．

点评 本题考查了三角函数的单调性求值诱导公式、三角形内角和定理、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．