Question

18．（理）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，EF=CE，AB=$\sqrt{2}$EF．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设AC与BD交于点G，则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形，得到EG∥AF，就可证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）连接FG，可得平行四边形CEFG为菱形，求出CF⊥EG，又四边形ABCD为正方形，可得BD⊥AC，进一步求出BD⊥平面ACEF，就可以得到CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系，由（II）知，$\overrightarrow{CF}$是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量n•$\overrightarrow{BA}$=0，n$•\overrightarrow{BE}$=0，求出平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$，就可以求出二面角A-BE-D的大小．

解答 （Ⅰ）证明：设AC于BD交于点G，
∵EF∥AG，且EF=1，AG=$\frac{1}{2}$AC=1，
∴四边形AGEF为平行四边形，
∴AF∥EG．
∵EG?面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：连接FG，∵EF∥CG，EF=CG=CE，∴平行四边形CEFG为菱形，∴CF⊥EG．
∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC．
又∵平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
∴BD⊥平面ACEF．
∴CF⊥BD．又BD∩EG=G，
∴CF⊥平面BDE；
（III）解：令EF=CE=1，则AB=$\sqrt{2}$．如图建立空间直角坐标系．
由（II）知，$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）是平面BDE的一个法向量．
 设平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则n•$\overrightarrow{BA}$=0，n$•\overrightarrow{BE}$=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{（x，y，z）•（\sqrt{2}，0.0）}\\{（x，y，z）•（0．-\sqrt{2}，0）}\end{array}\right.$，
∴x=0，且z=$\sqrt{2}$y．令y=1，则z=$\sqrt{2}$．
∴n=（0，1，$\sqrt{2}$）．
从而cos（n，$\overrightarrow{CF}$）=$\frac{n•\overrightarrow{CF}}{|n||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵二面角A-BE-D为锐角，
∴二面角A-BE-D的大小为$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查直线和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及二面角的求法，在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线，当然也可以用面面平行来推导线面平行，是中档题．