Question

11．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x²+2x-1（x∈R）与两坐标轴有三个交点，其中与x轴的交点为A，B．经过三个交点的圆记为C．
（1）求圆C的方程；
（2）设P为圆C上一点，若直线PA，PB分别交直线x=2于点M，N，则以MN为直径的圆是否经过线段AB上一定点？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，令y=0得x²+Dx+F=0，由题意求出D、F，求出f（0）的值后代入圆的方程求出F，可得圆C的方程；
（2）由f（x）=0得求出A、B的坐标，由条件设出PA、PB的方程和点M、N的坐标，由结论求出MN为直径的圆方程，根据点P的任意性列出方程组，求出定点的坐标即可．

解答 解：（1）设所求圆的一般方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0得x²+Dx+F=0，则与x²+2x-1=0 是同一个方程，
所以D=2，F=-1，
由f（x）=x²+2x-1得，f（0）=-1，
令x=0 得y²+Ey+F=0，则此方程有一个根为-1，
代入解得E=0，
所以圆C 的方程为x²+y²+2x-1=0；  …6分
（2）由f（x）=x²+2x-1=0得，x=$-\sqrt{2}-1$或x=$\sqrt{2}-1$，
不妨设A（$-\sqrt{2}-1$，0），B（$\sqrt{2}-1$，0），
设直线PA的方程：y=k（x+$\sqrt{2}$+1），
因以MN为直径的圆经过线段AB上点，
所以直线PB的方程：$y=-\frac{1}{k}（x-\sqrt{2}+1）$，
设M（2，k（3+$\sqrt{2}$）），N（2，$-\frac{1}{k}（3-\sqrt{2}）$），
所以MN为直径的圆方程为$（x-2）^{2}+[y-k（3+\sqrt{2}）][y+\frac{1}{k}（3-\sqrt{2}）]=0$，
化简得，${（x-2）}^{2}+{y}^{2}-7-k（3+\sqrt{2}）y+\frac{1}{k}（3-\sqrt{2}）y=0$，
由P点任意性得：$\left\{\begin{array}{l}{{（x-2）}^{2}-7=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，解得x=$2±\sqrt{7}$，
因为$-\sqrt{2}-1≤x≤\sqrt{2}-1$，所以x=$2-\sqrt{7}$，
即过线段AB上一定点（$2-\sqrt{7}$，0）…16分．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，待定系数法求圆的方程，以及圆过定点问题，考查化简、变形能力．