Question

18．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且f（x）＞-x的解集为{x|1＜x＜2}，方程f（x）+2a=0有两相等实根，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 设f（x）=ax²+bx+c，由f（x）＞-x，可得ax²+（b+1）x+c＞0，由f（x）＞-x的解集为{x|1＜x＜2}，列出不等式组，求解即可得a，b，c的关系式，再由f（x）+2a=0求出a的值，结合a，b，c的关系式即可得答案．

解答 解：设f（x）=ax²+bx+c，由f（x）＞-x，可得ax²+（b+1）x+c＞0，
∵f（x）＞-x的解集为{x|1＜x＜2}，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{-\frac{b+1}{a}=1+2}\\{\frac{c}{a}=1×2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a＜0①}\\{b=-3a-1②}\\{c=2a③}\end{array}\right.$，
∴f（x）=ax²-（3a+1）x+2a．
∵f（x）+2a=0，即ax²-（3a+1）x+4a=0有两相等实根，
∴△=（3a+1）²-16a²=0，解得a=1舍去或$a=-\frac{1}{7}$．④
由①②③④得：$a=-\frac{1}{7}$，$b=-\frac{4}{7}$，$c=-\frac{2}{7}$．
∴$f（x）=-\frac{1}{7}{x^2}-\frac{4}{7}x-\frac{2}{7}$．

点评 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了二次函数的性质，是中档题．