Question

6．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，0），B（4，0），若直线x-y+m=0上存在点P，使得2PA=PB，则实数m的取值范围是[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 设P（x，x+m），由2PA=PB，可得4|PA|²=|PB|²，利用两点之间的距离公式化为：（x+m）²=4-x²，可得：m=-x±$\sqrt{4-{x}^{2}}$，x∈[-2，2]．通过三角函数代换即可得出．

解答 解：设P（x，x+m），
∵2PA=PB，
∴4|PA|²=|PB|²，
∴4（x-1）²+4（x+m）²=（x-4）²+（x+m）²，
化为（x+m）²=4-x²，
∴4-x²≥0，解得x∈[-2，2]，
∴m=-x±$\sqrt{4-{x}^{2}}$，令x=2cosθ，θ∈[0，π]，
∴m=-2cosθ±2sinθ
=±2$\sqrt{2}$sin（θ±$\frac{π}{4}$）∈[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]，
实数m的取值范围是[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]，
故答案为[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．