Question

16．（文）已知函数f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简，得到f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．再由三角函数的周期公式求出ω；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的正弦函数的图象的性质来求函数f（x）在区间[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx（ω＞0）
=$\frac{1-2cos2ωx}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
所以$\frac{2π}{ω}$=π，
解得ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
因为x∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
所以2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
所以-$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1．
所以0≤sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$．

点评 本题给出三角函数表达式，求函数的周期与单调区间，并求闭区间上的最值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．