Question

20．在△ABC中，$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$是角A，B，C成等差数列的充分不必要条件．（充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件）

Answer 1

分析 根据三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，我们可以$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$对进行恒等变形，进而得到角A、B、C成等差数列与$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$的等价关系，再由充要条件的定义即可得到答案．

解答 解：在△ABC中，$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$⇒2sinA•sinC-sin²A=2cosA•cosC+cos²A
⇒2sinA•sinC-2cosA•cosC=cos²A+sin²A=1
⇒-2cos（A+C）=1
⇒cos（A+C）=-$\frac{1}{2}$⇒A+C=$\frac{2π}{3}$=2B
⇒角A、B、C成等差数列
当角A、B、C成等差数列⇒A+C=$\frac{2π}{3}$=2B，角A有可能取90°，
故 $\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$不成立
故 $\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$是角A、B、C成等差数列的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要条件．

点评 利用三角函数的同角三角函数关系，两角和的余弦公式等，对$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{2cosC+cosA}{2sinC-sinA}$进行恒等变形，探究其与A、B、C成等差数列的等价关系是解答本题的关键．