Question

10．函数y=ln（e^x-x+a）（e为自然对数的底数）的值域是正实数集R⁺，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （0，1]
• C． （-1，0]
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 根据对数的性质，要使值域是正实数集R+，则e^x-x+a＞1，令g（x）=e^x-x+a-1，利用导函数研究其最小值可得结论．

解答 解：函数y=ln（e^x-x+a），（e^x-x+a＞0），
可知，y是增函数，令g（x）=e^x-x+a-，值域是正实数集R⁺，则最小值可以为1，
由g′（x）=e^x-1，
当x∈（-∞，0）时，g′（x）＜0，则g（x）时单调递减．
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）时单调递增．
故得x=0时，g（x）取得最小值为g（0）=1+a
∴0＜1+a≤1，
故得-1＜a≤0．
故选C．

点评 本题考查了对数函数的性质及其运用，利用导函数研究函数的最小值问题，属于中档题．