Question

2．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=AA₁=3，BC=1，AB=$\sqrt{3}$，E₁为A₁B₁中点．
（1）证明：B₁D∥平面AD₁E₁；
（2）求平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结A₁D交AD₁于G，四边形ADD₁A₁为平行四边形，从而B₁D∥E₁G，由此能证明B₁D∥平面AD₁E₁；
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD₁的一个法向量和平面CDD₁C₁的一个法向量，由此利用向量法能求出平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（锐角）的余弦值．

解答 （1）证明：连结A₁D交AD₁于G，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为四棱柱，
∴四边形ADD₁A₁为平行四边形，
∴G为A₁D的中点，
又E₁为A₁B₁中点，∴E₁G为△A₁B₁D的中位线，
从而B₁D∥E₁G．
又∵B₁D?平面AD₁E₁，E₁G?平面AD₁E₁，
∴B₁D∥平面AD₁E₁；
（2）解：∵AA₁⊥底面ABCD，AB?面ABCD，AD?面ABCD，
∴AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，又∠BAD=90°，
∴AB，AD，AA₁两两垂直．
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
设AB=t，则A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），
D（0，3，0），C₁（t，1，3），D₁（0，3，3）．
从而$\overrightarrow{AC}$=（t，1，0），$\overrightarrow{BD}$=（-t，3，0）．
∵AC⊥BD，∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=-t2+3+0=0，解得t=$\sqrt{3}$．
∴$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，3，3），$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0）．
设$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁）是平面ACD₁的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{A{D}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{1}}=0}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{3{y}_{1}+3{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，
令x₁=1，则$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
又$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，3），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，2，0）．
设$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂）是平面CDD₁C₁的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{C{C}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0}\\{\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{{n}_{2}}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{z}_{2}=0}\\{-\sqrt{3}{x}_{2}+2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
令x₂=1，则$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{|1×1+\frac{\sqrt{3}}{2}×（-\sqrt{3}）+\sqrt{3}×0|}{\sqrt{1+3+3}×\sqrt{1+\frac{3}{4}+0}}=\frac{1}{7}$，
∴平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（锐角）的余弦值是$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，建立坐标系是解决本题的关键，是难题．