Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD．

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；
（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，证明平面CME∥平面PAB，即可证明直线CM∥平面PAB；
（II）证明：BD⊥平面PAB，即可证明平面PAB⊥平面PBD．

解答 证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．

取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，
∵ME?平面PAB，PA?平面PAB，
∴ME∥平面PAB．
∵AD∥BC，BC=AE，
∴ABCE是平行四边形，
∴CE∥AB．
∵CE?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
∵ME∩CE=E，
∴平面CME∥平面PAB，
∵CM?平面CME，
∴CM∥平面PAB
若M为AD的中点，连接CM，
由四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD．
可得四边形ABCM为平行四边形，即有CM∥AB，
CM?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CM∥平面PAB；
（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
由（I）及BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，
∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，
∵PA∩AB=A，
∴BD⊥平面PAB，
∵BD?平面PBD，
∴平面PAB⊥平面PBD．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．