Question

9．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（a＞$\sqrt{3}$）的右焦点为F，右顶点为A．已知$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x-2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{HF}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}）•（1，-{y}_{H}）=0$，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x₀≥1，转化为关于k的不等式求得k的范围．

解答 解：（1）由$\frac{1}{|OF|}$+$\frac{1}{|OA|}$=$\frac{3e}{|FA|}$，得$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}-3}}+\frac{1}{a}=\frac{3•\frac{\sqrt{{a}^{2}-3}}{a}}{a-\sqrt{{a}^{2}-3}}$，
即$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-3}}{a•\sqrt{{a}^{2}-3}}=\frac{3\sqrt{{a}^{2}-3}}{a（a-\sqrt{{a}^{2}-3}）}$，
∴a[a²-（a²-3）]=3a（a²-3），解得a=2．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x-2），（k≠0），
设B（x₁，y₁），M（x₀，k（x₀-2）），
∵∠MOA≤∠MAO，
∴x₀≥1，
再设H（0，y_H），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-16k²x+16k²-12=0．
△=（-16k²）²-4（3+4k²）（16k²-12）=144＞0．
由根与系数的关系得$2{x}_{1}=\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴${x}_{1}=\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}$，${y}_{1}=k（{x}_{1}-2）=\frac{-12k}{3+4{k}^{2}}$，
MH所在直线方程为$y-k（{x}_{0}-2）=-\frac{1}{k}（x-{x}_{0}）$，
令x=0，得${y}_{H}=（k+\frac{1}{k}）{x}_{0}-2k$，
∵BF⊥HF，
∴$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{HF}=（1-{x}_{1}，-{y}_{1}）•（1，-{y}_{H}）=0$，
即1-x₁+y₁y_H=$1-\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}-\frac{12k}{3+4{k}^{2}}[（k+\frac{1}{k}）{x}_{0}-2k]=0$，
整理得：${x}_{0}=\frac{9+20{k}^{2}}{12（{k}^{2}+1）}≥1$，即8k²≥3．≤
∴$k≤-\frac{\sqrt{6}}{4}$或$k≥\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．≤