Question

19．已知函数f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜-$\frac{e}{2}$时，a=-$\frac{e}{2}$时，-$\frac{e}{2}$＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）²，
可得f′（x）=（x-1）e^x+2a（x-1）=（x-1）（e^x+2a），
①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，
即有f（x）在（-∞，1）递减；在（1，+∞）递增；
②当a＜0时，若a=-$\frac{e}{2}$，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；
若a＜-$\frac{e}{2}$时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（-2a）；
由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（-2a）．
即有f（x）在（-∞，1），（ln（-2a），+∞）递增；
在（1，ln（-2a））递减；
若-$\frac{e}{2}$＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（-2a）或x＞1；
由f′（x）＜0，可得ln（-2a）＜x＜1．
即有f（x）在（-∞，ln（-2a）），（1，+∞）递增；
在（ln（-2a），1）递减；
（Ⅱ）
①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（-∞，1）递减；在（1，+∞）递增，
 且f（1）=-e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→-∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；
②当a=0时，f（x）=（x-2）e^x，所以f（x）只有一个零点x=2；
③当a＜0时，
若a＜-$\frac{e}{2}$时，f（x）在（1，ln（-2a））递减，在（-∞，1），（ln（-2a），+∞）递增，
又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；
当a≥-$\frac{e}{2}$时，f（x）在（1，+∞）单调递增，又x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点．
综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．