Question

14．设直线y=x+2a与圆C：x²+y²-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=2$\sqrt{3}$，则圆C的面积为4π．

Answer 1

分析 圆C：x²+y²-2ay-2=0的圆心坐标为（0，a），半径为$\sqrt{{a}^{2}+2}$，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．

解答 解：圆C：x²+y²-2ay-2=0的圆心坐标为（0，a），半径为$\sqrt{{a}^{2}+2}$，
∵直线y=x+2a与圆C：x²+y²-2ay-2=0相交于A，B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，
∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=$\frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}}$，
即$\frac{{a}^{2}}{2}$+3=a²+2，
解得：a²=2，
故圆的半径r=2．
故圆的面积S=4π，
故答案为：4π

点评 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．