Question

5．在△ABC中，a²+c²=b²+$\sqrt{2}$ac．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）求$\sqrt{2}$cosA+cosC的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知和余弦定理，可得cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进而得到答案；
（Ⅱ）由（I）得：C=$\frac{3π}{4}$-A，结合正弦型函数的图象和性质，可得$\sqrt{2}$cosA+cosC的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，a²+c²=b²+$\sqrt{2}$ac．
∴a²+c²-b²=$\sqrt{2}$ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}ac}{2ac}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴B=$\frac{π}{4}$
（Ⅱ）由（I）得：C=$\frac{3π}{4}$-A，
∴$\sqrt{2}$cosA+cosC=$\sqrt{2}$cosA+cos（$\frac{3π}{4}$-A）
=$\sqrt{2}$cosA-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinA
=sin（A+$\frac{π}{4}$）．
∵A∈（0，$\frac{3π}{4}$），
∴A+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，π），
故当A+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$时，sin（A+$\frac{π}{4}$）取最大值1，
即$\sqrt{2}$cosA+cosC的最大值为1．

点评 本题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难度中档．