Question

13．已知A是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积
（II） 当2|AM|=|AN|时，证明：$\sqrt{3}$＜k＜2．

Answer 1

分析 （I）依题意知椭圆E的左顶点A（-2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN为等腰直角三角形，设M（a-2，a），利用点M在E上，可得3（a-2）²+4a²=12，解得：a=$\frac{12}{7}$，从而可求△AMN的面积；
（II）设直线l_AM的方程为：y=k（x+2），直线l_AN的方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），联立$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ 3{x}^{2}+4{y}^{2}=12\end{array}\right.$消去y，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x_M-（-2）|=$\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$，|AN|=$\frac{12\sqrt{1+{（\frac{1}{k}）}^{2}}}{3+4{（\frac{1}{k}）}^{2}}$=$\frac{12k\sqrt{1+{k}^{2}}}{3{k}^{2}+4}$，
结合2|AM|=|AN|，可得$\frac{2}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{k}{3{k}^{2}+4}$，整理后，构造函数f（k）=4k³-6k²+3k-8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．

解答 解：（I）由椭圆E的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1知，其左顶点A（-2，0），
∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，

∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a-2，a），
∵点M在E上，∴3（a-2）²+4a²=12，整理得：7a²-12a=0，∴a=$\frac{12}{7}$或a=0（舍），
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$a×2a=a²=$\frac{144}{49}$；
（II）设直线l_AM的方程为：y=k（x+2），直线l_AN的方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x+2），由$\left\{\begin{array}{l}y=k（x+2）\\ 3{x}^{2}+4{y}^{2}=12\end{array}\right.$消去y得：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，∴x_M-2=-$\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，∴x_M=2-$\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
∴|AM|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x_M-（-2）|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{6-8{k}^{2}+6+8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$
∵k＞0，
∴|AN|=$\frac{12\sqrt{1+{（\frac{1}{k}）}^{2}}}{3+4{（\frac{1}{k}）}^{2}}$=$\frac{12k\sqrt{1+{k}^{2}}}{3{k}^{2}+4}$，
又∵2|AM|=|AN|，∴$\frac{2}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{k}{3{k}^{2}+4}$，
整理得：4k³-6k²+3k-8=0，
设f（k）=4k³-6k²+3k-8，
则f′（k）=12k²-12k+3=3（2k-1）²≥0，
∴f（k）=4k³-6k²+3k-8为（0，+∞）的增函数，
又f（$\sqrt{3}$）=4×3$\sqrt{3}$-6×3+3$\sqrt{3}$-8=15$\sqrt{3}$-26=$\sqrt{675}$-$\sqrt{676}$＜0，f（2）=4×8-6×4+3×2-8=6＞0，
∴$\sqrt{3}$＜k＜2．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系，通过这两个关系的变形去求解，考查构造函数思想与导数法判断函数单调性，再结合零点存在定理确定参数范围，是难题．