Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=2，b=1，则$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，则椭圆C的方程可求，离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）设P（x₀，y₀），求出PA、PB所在直线方程，得到M，N的坐标，求得|AN|，|BM|．由${S}_{ABNM}=\frac{1}{2}•|AN|•|BM|$，结合P在椭圆上求得四边形ABNM的面积为定值2．

解答 （1）解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1过点A（2，0），B（0，1）两点，
∴a=2，b=1，则$c=\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）证明：如图，
设P（x₀，y₀），则${k}_{PA}=\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，PA所在直线方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}（x-2）$，
取x=0，得${y}_{M}=-\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$；
${k}_{PB}=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$，PB所在直线方程为$y=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}x+1$，
取y=0，得${x}_{N}=\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$．
∴|AN|=$2-{x}_{N}=2-\frac{{x}_{0}}{1-{y}_{0}}=\frac{2-2{y}_{0}-{x}_{0}}{1-{y}_{0}}$，
|BM|=1-${x}_{M}=1+\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-2}=\frac{{x}_{0}+2{y}_{0}-2}{{x}_{0}-2}$．
∴${S}_{ABNM}=\frac{1}{2}•|AN|•|BM|$=$\frac{1}{2}•\frac{2-2{y}_{0}-{x}_{0}}{1-{y}_{0}}•\frac{{x}_{0}+2{y}_{0}-2}{{x}_{0}-2}$
=-$\frac{1}{2}$$\frac{（{x}_{0}+2{y}_{0}-2）^{2}}{（1-{y}_{0}）（{x}_{0}-2）}$=$\frac{1}{2}$$\frac{（{x}_{0}+2{y}_{0}）^{2}-4（{x}_{0}+2{y}_{0}）+4}{{x}_{0}{y}_{0}+2-{x}_{0}-2{y}_{0}}$=$\frac{1}{2}$$\frac{{{x}_{0}}^{2}+4{x}_{0}{y}_{0}+4{{y}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-8{y}_{0}+4}{{x}_{0}{y}_{0}+2-{x}_{0}-2{y}_{0}}$
=$\frac{1}{2}$$\frac{4（{x}_{0}{y}_{0}+2-{x}_{0}-2{y}_{0}）}{{x}_{0}{y}_{0}+2-{x}_{0}-2{y}_{0}}=\frac{1}{2}×4=2$．
∴四边形ABNM的面积为定值2．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，考查计算能力与推理论证能力，是中档题．