Question

10．设数列A：a₁，a₂，…，a_N （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有a_k＜a_n，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．
（Ⅰ）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；
（Ⅱ）证明：若数列A中存在a_n使得a_n＞a₁，则G（A）≠∅；
（Ⅲ）证明：若数列A满足a_n-a_n-1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于a_N-a₁．

Answer 1

分析 （Ⅰ）结合“G时刻”的定义进行分析；
（Ⅱ）可以采用假设法和递推法进行分析；
（Ⅲ）可以采用假设法和列举法进行分析．

解答 解：（Ⅰ）根据题干可得，a₁=-2，a₂=2，a₃=-1，a₄=1，a₅=3，a₁＜a₂满足条件，2满足条件，a₂＞a₃不满足条件，3不满足条件，
a₂＞a₄不满足条件，4不满足条件，a₁，a₂，a₃，a₄，均小于a₅，因此5满足条件，因此G（A）={2，5}．
（Ⅱ）因为存在a_n＞a₁，设数列A中第一个大于a₁的项为a_k，则a_k＞a₁≥a_i，其中2≤i≤k-1，所以k∈G（A），G（A）≠∅；
（Ⅲ）设A数列的所有“G时刻”为i₁＜i₂＜…＜i_k，
对于第一个“G时刻”i₁，有${a}_{{i}_{1}}$＞a₁≥a_i（i=2，3，…，i₁-1），则
${a}_{{i}_{1}}$-a₁≤${a}_{{i}_{1}}$-${a}_{{i}_{1}-1}$≤1．
对于第二个“G时刻”i₁，有${a}_{{i}_{2}}$＞${a}_{{i}_{1}}$≥a_i（i=2，3，…，i₁-1），则
${a}_{{i}_{2}}$-${a}_{{i}_{1}}$≤${a}_{{i}_{2}}$-${a}_{{i}_{2}-1}$≤1．
类似的${a}_{{i}_{3}}$-${a}_{{i}_{2}}$≤1，…，${a}_{{i}_{k}}$-${a}_{{i}_{k-1}}$≤1．
于是，k≥（${a}_{{i}_{k}}$-${a}_{{i}_{k-1}}$）+（${a}_{{i}_{k-1}}$-${a}_{{i}_{k-2}}$）+…+（${a}_{{i}_{2}}$-${a}_{{i}_{1}}$）+（${a}_{{i}_{1}}$-a₁）=${a}_{{i}_{k}}$-a₁．
对于a_N，若N∈G（A），则${a}_{{i}_{k}}$=a_N．
若N∉G（A），则a_N≤${a}_{{i}_{k}}$，否则由（2）知${a}_{{i}_{k}}$，${a}_{{i}_{k+1}}$，…，a_N，中存在“G时刻”与只有k个“G时刻”矛盾．
从而k≥${a}_{{i}_{k}}$-a₁≥a_N-a₁．

点评 本题属于新定义题型，重点在于对“G时刻”定义的把握，难度较大．