Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，直线y=$\frac{b}{2}$与椭圆交于B，C两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 设右焦点F（c，0），将y=$\frac{b}{2}$代入椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，结合离心率公式，计算即可得到所求值．方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结合离心率公式计算即可得到所求．

解答 解：设右焦点F（c，0），
将y=$\frac{b}{2}$代入椭圆方程可得x=±a$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{4{b}^{2}}}$=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
可得B（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{b}{2}$），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{b}{2}$），
由∠BFC=90°，可得k_BF•k_CF=-1，
即有$\frac{\frac{b}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}a-c}$•$\frac{\frac{b}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a-c}$=-1，
化简为b²=3a²-4c²，
由b²=a²-c²，即有3c²=2a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
可得e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
另解：设右焦点F（c，0），
将y=$\frac{b}{2}$代入椭圆方程可得x=±a$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{4{b}^{2}}}$=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
可得B（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{b}{2}$），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，$\frac{b}{2}$），
$\overrightarrow{FB}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-c，$\frac{b}{2}$），$\overrightarrow{FC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-c，$\frac{b}{2}$），
$\overrightarrow{FB}$•$\overrightarrow{FC}$=0，则c²-$\frac{3}{4}$a²十$\frac{1}{4}$b²=0，
因为b²=a²-c²，代入得3c²=2a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
可得e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查化简整理的运算能力，属于中档题．