Question

5．设f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，已知f（α）=$\frac{5}{6}$，且α∈（0，$\frac{π}{6}$），求sin2α．

Answer 1

分析 利用已知条件求出2α的正弦函数与余弦函数方程，利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数求解即可．

解答 解：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，f（α）=$\frac{5}{6}$，
可得sin（2α+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{6}$．sin（2α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，
α∈（0，$\frac{π}{6}$），可得2α+$\frac{π}{6}$∈（0，$\frac{π}{2}$）．
cos（2α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{6}）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
sin2α=sin（2α+$\frac{π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin（2α+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-cos（2α+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题重点考查了三角恒等变换公式、辅助角公式、二倍角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．