Question

16．微信是腾讯公司推出的一款手机通讯软件，它支持发送语音、视频、图片和文字等，一推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信朋友圈销售商品的人（被称为微商）．经调查，年龄在40岁以下（不包括40岁）的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为$\frac{3}{5}$，年龄在40岁以上（包括40岁）的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为p，将每天使用微信的时间不低于8小时的微信用户称为“微信狂”，若甲（21）岁、乙（36岁）、丙（48岁）三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为$\frac{28}{75}$
（1）求甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率；
（2）记甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}（1-p）+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×（1-p）$+$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}p$=$\frac{28}{75}$，求出p=$\frac{1}{3}$．由此能求出甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率．
（2）记甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望EX．

解答 解：（1）∵年龄在40岁以下（不包括40岁）的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为$\frac{3}{5}$，
年龄在40岁以上（包括40岁）的微信用户每天使用微信的时间不低于8小时的概率为p，
将每天使用微信的时间不低于8小时的微信用户称为“微信狂”，
甲（21）岁、乙（36岁）、丙（48岁）三人中有且仅有一人是“微信狂”的概率为$\frac{28}{75}$，
∴$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}（1-p）+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×（1-p）$+$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}p$=$\frac{28}{75}$，
解得p=$\frac{1}{3}$．
∴甲、乙、丙三人中至少有两人是“微信狂”的概率：
p₁=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}$+$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{1}{3}$+$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{13}{25}$．
（2）记甲、乙、丙三人中是“微信狂”的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}×\frac{2}{3}$=$\frac{8}{75}$，
P（X=1）=$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{28}{75}$，
P（X=2）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}$+$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{30}{75}$，
P（X=3）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{3}$=$\frac{9}{75}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{75}$	$\frac{28}{75}$	$\frac{30}{75}$	$\frac{9}{75}$

数学期望EX=$0×\frac{8}{75}+1×\frac{28}{75}+2×\frac{30}{75}$+3×$\frac{9}{75}$=$\frac{23}{15}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件乘法公式的合理运用．