Question

8．在△ABC中，A为锐角，|AB|=|AC|+6，|AB|•|AC|=64，且S_△ABC=16$\sqrt{3}$，求以B，C为焦点，且过点A的双曲线的方程．

Answer 1

分析 利用三角形的面积公式，求出sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得cosA=$\frac{1}{2}$，利用余弦定理求出|BC|，再建立坐标系，即可求以B，C为焦点，且过点A的双曲线的方程．

解答 解：在△ABC中，∵|AB|•|AC|=64，且S_△ABC=16$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×64×sinA$=16$\sqrt{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为锐角，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
设|AC|=x，|AB|=x+6，∴|BC|=$\sqrt{{x}^{2}+（x+6）^{2}-2x•（x+6）•\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x（x+6）+36}$=10，
∴以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立坐标系，可得a=3，c=5，
∴b=4．
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

点评 本题考查双曲线的定义与方程，考查正弦、余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．