Question

13．已知单位向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，则|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，由条件可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，再由|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4{\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，代入计算即可得到所求值．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）²=3，
即为$\overrightarrow{a}$²+$\overrightarrow{b}$²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=3，
即有$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$×（3-1-1）=$\frac{1}{2}$，
则|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+4{\overrightarrow{b}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$
=$\sqrt{1+4+4×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$．
故选：D．

点评 本题考查向量的模的求法，注意运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题．