Question

8．在平面直角坐标系xoOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}$（θ为参数）．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M平行于直线l的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=3，求点M轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由极坐标方程的定义可得直线l的方程，对于曲线C的参数方程，消去参数计算即可得答案；
（2）设点M（x₀．y₀）及过点M的直线为${L_1}：\left\{\begin{array}{l}x={x_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y={y_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$，结合题意直线L₁与曲线C相交可得：${t^2}+\sqrt{2}（{{x_0}+{y_0}}）t+{x_0}^2+{y_0}^2-1=0$，又由题意可得$|{{x_0}^2+{y_0}^2-1}|=3$，将其变形可得答案．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$，所以直线斜率为1，直线l：y=x；
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ为参数）$，消去参数θ，
可得曲线C：x²+y²=1，
（2）设点M（x₀．y₀）及过点M的直线为${L_1}：\left\{\begin{array}{l}x={x_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y={y_0}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t为参数）$，
由直线L₁与曲线C相交可得：${t^2}+\sqrt{2}（{{x_0}+{y_0}}）t+{x_0}^2+{y_0}^2-1=0$，
因为|MA|•|MB|=3
所以$|{{x_0}^2+{y_0}^2-1}|=3$，即：${x_0}^2+{y_0}^2=4$，
$\left\{\begin{array}{l}y=x+m\\{x^2}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒2{x^2}+2mx+{m^2}-1=0$
由$△＞0⇒-\sqrt{2}＜m＜\sqrt{2}$
故点M的轨迹的直角坐标方程为：x²+y²=4（夹在两直线$y=x±\sqrt{2}$之间的两段圆弧）

点评 本题考查极坐标以及参数方程的应用，涉及极坐标方程、参数方程与直角坐标系方程的转化，关键是掌握极坐标方程、参数方程的意义．