Question

16．设偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML=90°，KL=1，则f（$\frac{1}{12}$）的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{8}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 由条件利用等腰直角三角形求出A，由周期求出ω，由函数的奇偶性求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用两角差的余弦公式，求得f（$\frac{1}{12}$）的值．

解答 解：由题意可得$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=KL=1，∴ω=π，KM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{{（\frac{1}{2}）}^{2}{+A}^{2}}$，∴A=$\frac{1}{2}$，∴f（x）=$\frac{1}{2}$sin（πx+φ）．
再结合f（x）为偶函数，以及所给的图象，可得φ=$\frac{π}{2}$，∴f（x）=$\frac{1}{2}$cos（πx）．
则f（$\frac{1}{12}$）=$\frac{1}{2}$cos（$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{2}$•cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$[cos$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$+sin$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$]=$\frac{1}{2}$•[$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}$]=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{8}$，
故选：B．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由条件利用等腰直角三角形求出A，由周期求出ω，由函数的奇偶性求出φ的值，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．