Question

1．已知函数f（x）=|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{1}{2}$|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．

Answer 1

分析 （I）分当x＜$-\frac{1}{2}$时，当$-\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$时，当x＞$\frac{1}{2}$时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；
（Ⅱ）当a，b∈M时，（a²-1）（b²-1）＞0，即a²b²+1＞a²+b²，配方后，可证得结论．

解答 解：（I）当x＜$-\frac{1}{2}$时，不等式f（x）＜2可化为：$\frac{1}{2}$-x-x-$\frac{1}{2}$＜2，
解得：x＞-1，
∴-1＜x＜$-\frac{1}{2}$，
当$-\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$时，不等式f（x）＜2可化为：$\frac{1}{2}$-x+x+$\frac{1}{2}$=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴$-\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，
当x＞$\frac{1}{2}$时，不等式f（x）＜2可化为：-$\frac{1}{2}$+x+x+$\frac{1}{2}$＜2，
解得：x＜1，
∴$\frac{1}{2}$＜x＜1，
综上可得：M=（-1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，
（a²-1）（b²-1）＞0，
即a²b²+1＞a²+b²，
即a²b²+1+2ab＞a²+b²+2ab，
即（ab+1）²＞（a+b）²，
即|a+b|＜|1+ab|．

点评 本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．