Question

15．设直线l₁，l₂分别是函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x＜1}\\{lnx，x＞1}\end{array}\right.$图象上点P₁，P₂处的切线，l₁与l₂垂直相交于点P，且l₁，l₂分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （0，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 设出点P₁，P₂的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l₁与l₂的斜率，由两直线垂直求得P₁，P₂的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．

解答 解：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）（0＜x₁＜1＜x₂），
当0＜x＜1时，f′（x）=$-\frac{1}{x}$，当x＞1时，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴l₁的斜率${k}_{1}=-\frac{1}{{x}_{1}}$，l₂的斜率${k}_{2}=\frac{1}{{x}_{2}}$，
∵l₁与l₂垂直，且x₂＞x₁＞0，
∴${k}_{1}•{k}_{2}=-\frac{1}{{x}_{1}}•\frac{1}{{x}_{2}}=-1$，即x₁x₂=1．
直线l₁：$y=-\frac{1}{{x}_{1}}（x-{x}_{1}）-ln{x}_{1}$，l₂：$y=\frac{1}{{x}_{2}}（x-{x}_{2}）+ln{x}_{2}$．
取x=0分别得到A（0，1-lnx₁），B（0，-1+lnx₂），
|AB|=|1-lnx₁-（-1+lnx₂）|=|2-（lnx₁+lnx₂）|=|2-lnx₁x₂|=2．
联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}$|AB|•|x_P|=$\frac{1}{2}×2×\frac{2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}=\frac{2}{{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}}$．
∵函数y=x+$\frac{1}{x}$在（0，1）上为减函数，且0＜x₁＜1，
∴${x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}＞1+1=2$，则$0＜\frac{1}{{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}}＜\frac{1}{2}$，
∴$0＜\frac{2}{{x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}}＜1$．
∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．
故选：A．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题．