Question

4．如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．

解答 解：如图，
过D作DH⊥AB于H，
∵BE=2AE=2，BD=ED，
∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，
∴DH²=AH•BH=2，则DH=$\sqrt{2}$，
在Rt△DHE中，则$DE=\sqrt{D{H}^{2}+H{E}^{2}}=\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$，
由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，
∴$CE=\frac{AE•EB}{DE}=\frac{1×2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．