Question

16．直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}$=1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率k_PA，k_PB存在时，k_PA•k_PB等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{9}$
• D． 与P的位置有关

Answer 1

分析 根据题意求出直线与双曲线的交点坐标，设出点P的坐标，求出直线PA、PB的斜率，计算k_PA•k_PB的值．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y得$\frac{7}{144}$x²=1，
解得x=±$\frac{12}{\sqrt{7}}$，∴y=±$\frac{6}{\sqrt{7}}$；
设A点（$\frac{12}{\sqrt{7}}$，$\frac{6}{\sqrt{7}}$），B点（-$\frac{12}{\sqrt{7}}$，-$\frac{6}{\sqrt{7}}$），
∵P为双曲线上不同于A，B的点，设P（x，y），
并且满足$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，则k_PA=$\frac{y-\frac{6}{\sqrt{7}}}{x-\frac{12}{\sqrt{7}}}$，k_PB=$\frac{y+\frac{6}{\sqrt{7}}}{x+\frac{12}{\sqrt{7}}}$，
∴k_PA•k_PB=$\frac{y-\frac{6}{\sqrt{7}}}{x-\frac{12}{\sqrt{7}}}$•$\frac{y+\frac{6}{\sqrt{7}}}{x+\frac{12}{\sqrt{7}}}$
=$\frac{{y}^{2}-\frac{36}{7}}{{x}^{2}-\frac{144}{7}}$
=$\frac{{x}^{2}•\frac{4}{9}-4-\frac{36}{7}}{{x}^{2}-\frac{144}{7}}$
=$\frac{\frac{4}{9}{（x}^{2}-\frac{144}{7}）}{{x}^{2}-\frac{144}{7}}$
=$\frac{4}{9}$．
故选：C．

点评 本题考查两条直线斜率乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线斜率公式的合理运用．