Question

6．在直角坐标系xOy中，过点P（2，$\frac{3}{2}$）作倾斜角为α的直线l与曲线C：（x-1）²+（y-2）²=1相交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程与曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）求$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．曲线C：（x-1）²+（y-2）²=1展开把y=ρsinθ，x=ρcosθ，ρ²=x²+y²代入即可化为极坐标方程．
（2）把直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C的方程可得：t²+（2cosα-sinα）t+$\frac{1}{4}$=0，利用根与系数的关系代入$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$，即可得出．

解答 解：（1）由题意可得直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
曲线C：（x-1）²+（y-2）²=1展开可得：x²+y²-2x-4y+4=0，
把y=ρsinθ，x=ρcosθ，ρ²=x²+y²代入化为极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0．
（2）把直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosα}\\{y=\frac{3}{2}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C的方程：x²+y²-2x-4y+4=0，
可得：t²+（2cosα-sinα）t+$\frac{1}{4}$=0，由△＞0，可得|2cosα-sinα|＞1．
故$\frac{1}{|PM|}$+$\frac{1}{|PN|}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}+{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=4|2cosα-sinα|∈$（4，4\sqrt{5}]$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、三角函数基本关系式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．