Question

1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα+\sqrt{3}\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为$θ=\frac{π}{6}$．若直线l与曲线C交于A，B，求线段AB的长．

Answer 1

分析 由曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα+\sqrt{3}\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数），利用cos²α+sin²α=1可得曲线C的普通方程．由直线l的极坐标方程为$θ=\frac{π}{6}$，可得直线l的直角坐标方程．
∴圆心到直线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，利用弦长公式即可得出．

解答 解：由曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα+\sqrt{3}\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α为参数），
利用cos²α+sin²α=1可得曲线C的普通方程为${（{x-\sqrt{3}}）^2}+{y^2}=4$，表示以$（{\sqrt{3}，0}）$为圆心，2为半径的圆．
由直线l的极坐标方程为$θ=\frac{π}{6}$，可得直线l的直角坐标方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x$，
∴圆心到直线的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴线段AB的长为$2\sqrt{4-{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）}^2}}=\sqrt{13}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、圆的参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．