Question

9．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cost}\\{y=1+\sqrt{3}sint}\end{array}\right.$（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=1．
（1）把C₁的参数方程化为极坐标方程；
（2）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cost}\\{y=1+\sqrt{3}sint}\end{array}\right.$（t为参数），利用cos²t+sin²t=1消去参数t化为普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．
（2）曲线C₂的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x²+y²=1．联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cost}\\{y=1+\sqrt{3}sint}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t化为普通方程：（x-1）²+（y-1）²=3，展开为：x²+y²-2x-2y-1=0．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ-1=0．
（2）曲线C₂的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x²+y²=1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-2y-1=0}\end{array}\right.$，j解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
化为极坐标$（1，\frac{3π}{4}）$，$（1，\frac{7π}{4}）$．
∴C₁与C₂交点的极坐标分别为：$（1，\frac{3π}{4}）$，$（1，\frac{7π}{4}）$．

点评 本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．