Question

11．棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有顶点均在球O的球面上，E，F，G分别为AB，AD，AA₁的中点，则平面EFG截球O所得圆的半径为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球球心O为对角线AC₁的中点，球半径$R=\sqrt{3}$，球心O到平面EFG的距离为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，利用勾股定理求出小圆半径．

解答 解：由题意，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球球心O为对角线AC₁的中点，正方体对角线长为2$\sqrt{3}$
所以球半径$R=\sqrt{3}$，
因为A到平面EFG的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$
所以球心O到平面EFG的距离为$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
所以小圆半径$r=\sqrt{{R^2}-{{（{\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{3}$，
故选B．

点评 本题考查平面EFG截球O所得圆的半径及球的内接多面体问题，找准量化关系是关键．