Question

6．如图，半径为2的⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交与点P，PE为⊙O的切线，E为切点，$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{BD}$，若PB=2，PD=$\frac{5}{2}$，∠PEB=30°．
（1）求∠PCB的度数；
（2）求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接AE，利用圆的切线的性质，结合圆周角定理求∠PCB的度数；
（2）由割线定理求出PC，即可求CD的长．

解答 解：（1）连接AE，
∵PE为⊙O的切线，E为切点，
∴∠PAE=∠PEB=30°，
∵$\widehat{BE}$=2$\widehat{BD}$，
∴$∠PCB=\frac{1}{2}∠PAE$=15°；
（2）由割线定理得PB•PA=PD•PC，
∴2×（2+2×2）=$\frac{5}{2}$PC，
∴PC=$\frac{24}{5}$，
∴CD=PC-PD=$\frac{23}{10}$．

点评 本题考查圆的切线的性质、圆周角定理、割线定理，考查学生的计算能力，属于中档题．