Question

13．中南大学有南北两个校区，教授们授课有时需开车往返两个校区，设两校区之间开车单程所需时间为T，一般情况下T只与道路畅通状况有关，通过随机抽取100次教授们开车单程所需时间进行统计，统计结果如表：

T（分钟）	25	30	35	40
频数（次）	20	30	40	10

（Ⅰ）若以样本估计总体，视频率为相应概率，求随机变量T的分布列与数学期望ET；
（Ⅱ）若刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布，从而得到以频率估计概率得T的分布列，由此能求出随机变量T的分布列与数学期望ET．
（Ⅱ）设T₁，T₂分别表示往、返所需时间，T₁，T₂的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．由此能求出刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

解答 解：（Ⅰ）由统计结果可得T的频率分布为

T（分钟）	25	30	35	40
频率	0.2	0.3	0.4	0.1

以频率估计概率得T的分布列为

T	25	30	35	40
P	0.2	0.3	0.4	0.1

从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32（分钟）…（6分）
（Ⅱ）设T₁，T₂分别表示往、返所需时间，T₁，T₂的取值相互独立，且与T的分布列相同．
设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，
由于讲座时间为50分钟，
所以事件A对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”．
故刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率：
P（A）=P（T₁+T₂≤70）
=P（T₁=25，T₂≤45）+P（T₁=30，T₂≤40）+P（T₁=35，T₂≤35）+P（T₁=40，T₂≤30）
=1×0.2+1×0.3+0.9×0.4+0.5×0.1=0.91．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．