Question

【题目】设函数（）的反函数为，.

（1）求；

（2）若函数的图象与直线有公共点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（）；（2）.

【解析】

（1）化指数式为对数式可得x＝log4（y+1），把x，y互换即可得到f﹣1（x）；

（2）利用对数的运算性质化简h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x），换元后利用函数单调性求值域，即可求得使函数h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x）的图象与直线y＝a有公共点的实数a的取值范围．

解：（1）由y＝f（x）＝4x﹣1（x≥0），

得4x＝y+1，

∴x＝log4（y+1），

∴f﹣1（x）＝log4（x+1）（x≥0）；

（2）h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x）＝2log4（3x+1）﹣log4（x+1）

．

令F（x），

∵x≥0，∴t＝x+1≥1，

则F（x），

化为G（t）＝9t在[1，+∞）上为增函数，

则G（t）min＝G（1）＝1．

∴若函数h（x）＝2g（x）﹣f﹣1（x）的图象与直线y＝a有公共点，则实数a的取值范围是a≥0．