Question

20．已知函数f（x）=（a+1）lnx+x²+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意不相等的x₁，x₂∈（0，+∞），恒有|f（x₁）-f（x₂）≥4|x₁-x₂|成立，求非负实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求函数的定义域，再求导，分类讨论，根据导数和函数的单调性即可求函数的单调区间；
（Ⅱ）不妨设x₁＞x₂，转化为（x₁）-4x₁≥f（x₂）-4x₂恒成立，构造函数，利用导数和函数的最值的关系即可求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为（0，+∞）
∴$f'（x）=\frac{a+1}{x}+2x=\frac{{2{x^2}+a+1}}{x}$，
当a+1≥0时，f′（x）＞0恒成立，
∴当a≥-1时，y=f（x）在区间（0，+∞）单调递增，
当a+1＜0时，若x＞$\sqrt{-\frac{a+1}{2}}$，f′（x）＞0，
若0＜x＜$\sqrt{-\frac{a+1}{2}}$，f′（x）＜0，
∴当a＜-1时，函数y=f（x）在区间（0，$\sqrt{-\frac{a+1}{2}}$）上单调递减，在区间（$\sqrt{-\frac{a+1}{2}}$，+∞）上单调递增，
（Ⅱ）不妨设x₁＞x₂，
又∵a≥0，
∴y=f（x）在区间（0，+∞）上单调递增|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|恒成立，等价于f（x₁）-f（x₂）≥4x₁-4x₂恒成立，
即就是f（x₁）-4x₁≥f（x₂）-4x₂恒成立
令g（x）=f（x）-4x，x∈（0，+∞），则y=g（x）为单调递增函数
即就是g'（x）≥0恒成立，
∵$g'（x）=\frac{{2{x^2}-4x+a+1}}{x}≥0$
令h（x）=2x²-4x+a+1，x∈（0，+∞），
∵h（x）_min=h（1）=a-1，
∴a≥1，
故a的取值范围为[1，+∞）

点评 该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．