Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$（a-1）x²+bx（a，b为常数），在x=1和x=4处取得极值．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）根据所给的函数的解析式，对函数求导，使得导函数等于0，得到关于a，b的关系式，解方程组即；
（2）根据f′（x）＜0，即可求出单调减区间．

解答 解：（1）f′（x）=x²+（a-1）x+b．
由题设知$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=2+（a-1）+b=0}\\{f′（4）=16+4（a-1）+b=0}\end{array}\right.$，
解得a=-4，b=4，
所以f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{5}{2}$x²+4x，
（2）由（1）知f′（x）=x²-5x+4，
当f′（x）＜0时，即x²-5x+4＜0，解得1＜x＜4，函数单调递减，
故f（x）的单调递减区间为（1，4）

点评 本题考查了导数和函数的极值问题，以及函数的单调区间，属于中档题．