Question

4．在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为1的正三角形，SC⊥面ABC，SC=2，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为（　　）

• A． 6π
• B． $\frac{16π}{3}$
• C． $\frac{40π}{9}$
• D． $\frac{8π}{3}$

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$，可得球的半径R，然后求解表面积．

解答 解：根据已知中底面△ABC是边长为2的正三角形，SC⊥面ABC，SC=2，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SC为高的正三棱柱的外接球，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，
故球的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{3}}{3}）}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
三棱锥S-ABC外接球的表面积为：4π${×（\frac{2\sqrt{3}}{3}）}^{2}$=$\frac{16π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$，是解答的关键．