Question

2．已知函数f（x）=$\frac{lnx+a}{{e}^{x}}$（a∈R，e=2.71828…是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a的值；
（Ⅱ）设g（x）=（x³+2x²+2x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数，证明：对任意x＞0，g（x）＜2+$\frac{2}{{e}^{a+1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求a的值；
（Ⅱ）求出g（x）的表达式，设φ（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{{e}^{x}}$，（x＞0），h（x）=1-xlnx-ax，（x＞0），求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}•{e}^{x}-（a+lnx）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{\frac{1}{x}-（a+lnx）}{{e}^{x}}$=$\frac{1-xlnx-ax}{x{e}^{x}}$，
若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
则f′（1）=0，
即f′（1）=$\frac{1-a}{e}=0$，解得a=1；
（Ⅱ）∵g（x）=（x³+2x²+2x）f′（x）=（x³+2x²+2x）•$\frac{1-xlnx-ax}{x{e}^{x}}$=（x²+2x+2）•$\frac{1-xln-ax}{{e}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{{e}^{x}}$•（1-xlnx-ax），
∴设φ（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{{e}^{x}}$，（x＞0），h（x）=1-xlnx-ax，（x＞0），
则h′（x）=-1-a-lnx，令h′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{{e}^{a+1}}$，h（x）是增函数，
令h′（x）＜0得x＞$\frac{1}{{e}^{a+1}}$，h（x）是减函数，
∴h（x）的最大值为h（$\frac{1}{{e}^{a+1}}$）=1+$\frac{a+1}{{e}^{a+1}}$-$\frac{a}{{e}^{a+1}}$=1+$\frac{1}{{e}^{a+1}}$，
∵φ′（x）=$\frac{（2x+2）{e}^{x}-（{x}^{2}+2x+2）{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$-\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$＜0，
∴φ（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴φ（x）＜φ（0）=2，
∵x＞0，∴0＜φ（x）＜2，
∴h（x）φ（x）＜2•（1+$\frac{1}{{e}^{a+1}}$）=2+$\frac{2}{{e}^{a+1}}$．
即g（x）＜2+$\frac{2}{{e}^{a+1}}$．成立．

点评 本题主要考查导数的综合应用，构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．