Question

13、如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上；M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC，求证SC垂直于截面MAB．

Answer 1

分析：要证明SC垂直于截面MAB，利用三垂线定理以及已知条件，只证明SC⊥AB，SC⊥DM即可．

解答：证明：因为SN是底面的垂线，NC是斜线SC在底面上的射影，
AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂线定理）
连接DM，因为AB⊥DC，AB⊥SC，
所以AB垂直于DC和SC所决定的平面，
又因DM在这个平面内，所以AB⊥DM，
∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC，
在△MDC和△NSC中，因为∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，
所以∠DMC=∠SNC=90°从而DM⊥SC，
从AB⊥SC，DM⊥SC，
可知SC⊥截面MAB．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查逻辑思维能力，是中档题．