Question

16．在区间[0，1]上给定曲线y=x²，如图所示，0＜t＜1，S₁，S₂是t的函数，则函数g（t）=S₁+S₂的单调递增区间为（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 首先利用定积分分别求出S₁，S₂，得到函数g（t），然后分析其单调性．

解答 解：由题意S₁=${∫}_{0}^{t}{（t}^{2}-{x}^{2}）dx$=（t²x-$\frac{1}{3}{x}^{3}$）|${\;}_{0}^{t}$=$\frac{2}{3}{t}^{3}$，
S₂=${∫}_{t}^{1}（{x}^{2}-{t}^{2}）dx$=（$\frac{1}{3}{x}^{3}-{t}^{2}x$）|${\;}_{t}^{1}$=$\frac{1}{3}-{t}^{2}+\frac{2}{3}{t}^{3}$，
所以g（t）=S₁+S₂=$\frac{4}{3}{t}^{3}-{t}^{2}+\frac{1}{3}$，g'（t）=4t²-2t=2t（2t-1），令g'（t）＞0解得t＞$\frac{1}{2}$或t＜0，又0＜t＜1，
所以函数g（t）=S₁+S₂的单调递增区间为（$\frac{1}{2}$，1）；
故答案为：（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积以及利用导数求函数的单调区间；属于经常考查的题型．