Question

1．已知：sinx+siny=$\frac{1}{3}$，求cosx+cosy的取值范围．

Answer 1

分析 设cosx+cosy=a，两式平方后相加，求出a²的范围，利用余弦函数的值域即可确定出a的范围．

解答 解：设cosx+cosy=a①，
由sinx+siny=$\frac{1}{3}$②，①²+②²得：（sinx+siny）²+（cosx+cosy）²=$\frac{1}{9}$+a²，
整理得：2+2（cosxcosy+sinxsiny）=$\frac{1}{9}$+a²，即2+2cos（x-y）=$\frac{1}{9}$+a²，
解得：a²=$\frac{17}{9}$+2cos（x-y），
∵-1≤cos（x-y）≤1，即0≤a²≤$\frac{35}{9}$，
∴0≤a≤$\frac{\sqrt{35}}{3}$或-$\frac{\sqrt{35}}{3}$≤a＜0，
则cosx+cosy的范围为[-$\frac{\sqrt{35}}{3}$，0）∪[0，$\frac{\sqrt{35}}{3}$]．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．