Question

9．已知cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，$\frac{17π}{12}$＜x＜$\frac{7π}{4}$，则$\frac{sin2x+2si{n}^{2}x}{1-tanx}$=-$\frac{28}{75}$．

Answer 1

分析 已知等式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理求出cosx-sinx的值，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出cosx+sinx与2sinxcosx的值，原式化简后代入计算即可求出值．

解答 解：∵cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosx-sinx）=$\frac{3}{5}$，
∴cosx-sinx=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
两边平方得：cos²x+sin²x-2sinxcosx=1-2sinxcosx=$\frac{18}{25}$，即2sinxcosx=$\frac{7}{25}$，
∵cosx+sinx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），且$\frac{5π}{3}$＜x+$\frac{π}{4}$＜2π，
∴cosx+sinx＜0，
∴（cosx+sinx）²=1+2sinxcosx=$\frac{32}{25}$，
开方得：cosx+sinx=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，
则原式=$\frac{2sinxcosx+2si{n}^{2}x}{1-\frac{sinx}{cosx}}$=$\frac{2sinxcosx（sinx+cosx）}{cosx-sinx}$=-$\frac{\frac{7}{25}×\frac{4\sqrt{2}}{5}}{\frac{3\sqrt{2}}{5}}$=-$\frac{28}{75}$．
故答案为：-$\frac{28}{75}$

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．