Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当 最小时，求点T的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意有 解得

所以椭圆C的标准方程为 + =1

（2）解：设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），

①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率 ．

由 （m2+3）y2﹣4my﹣2=0，

所以 ，

于是 ，从而 ，

即 ，则直线ON的斜率 ，

又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率 ，得t=m．

从而 ，即kOT=kON，

所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．

②由两点间距离公式得 ，

由弦长公式得 = = ，

所以 ，

令 ，则 （当且仅当x2=2时，取“=”号），

所以当 最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．

【解析】第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2 ， b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将 表示出来，由 取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．