Question

4．已知函数f（x）=x²+mx+1，当f（x）分别满足下列条件时，求实数m的取值范围．
（1）f（x）在区间（0，2）上只有一个零点；
（2）f（x）在区间（0，2）上有两个零点；
（3）f（x）在区间（0，2）上有零点．

Answer 1

分析 （1）若函数f（x）=x²+mx+1只有一个零点，则$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{f（1）＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$或△=m²-4=0，且0＜-$\frac{m}{2}$＜2，解得即可，
（2））若f（x）在区间（0，2）上有两个零点，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜-\frac{m}{2}＜2}\\{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\\{△={m}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，解得即可，
（3）由（1），（2）可知．

解答 解：（1）：若函数f（x）=x²+mx+1只有一个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{f（1）＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$或△=m²-4=0，且0＜-$\frac{m}{2}$＜2，
解得m=-2或m≤-$\frac{5}{2}$，
（2）∵f（x）在区间（0，2）上有两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜-\frac{m}{2}＜2}\\{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\\{△={m}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{2}$＜m＜-2，
故m的取值范围为（-$\frac{5}{2}$，-2），
（3）f（x）在区间（0，2）上有零点，由（1），（2）可知，
m的取值范围为（-∞，-2]

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键