Question

已知函数f（x）=x²+ax+3-a，a∈R．
（1）求a的取值范围，使y=f（x）在闭区间[-1，3]上是单调函数；
（2）当a=-1时，求该函数在[0，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）y=f（x）在闭区间[-1，3]上是单调函数，则y=f（x）的对称轴在区间的左侧或者右侧；
（2）当a=-1时，对称轴为x=

1

2

，就是定轴定区间的最值问题．

解答： 解：（1）由题知，f（x）=x²+ax+3-a，a∈R的对称轴为x=-

1

2

a，
当y=f（x）在闭区间[-1，3]上是单调函数时，则有-

1

2

a≥3或者-

1

2

a≤-1，
∴a≤-6，或者a≥2．
（2）当a=-1时，此时f（x）=x²-x+4=(x-

1

2

)2+

15

4

，
当x∈[0，

1

2

]，y=f(x)单调递减，当x∈[

1

2

，3]，y=f（x）单调递增；
所以ymax=f(3)=10，ymin=f(

1

2

)=

15

4

．

点评：本题主要考察二次函数的定区间动轴问题以及求最值．