Question

13．对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如频率分布直方图．（1）图中纵坐标y₀处刻度不清，根据图表所提供的数据还原y₀；
（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个元件，寿命为100～300之间的应抽取几个；
（3）从（2）中抽出的寿命落在100～300之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为100～200，一个寿命为200～300”的概率．

Answer 1

分析 （1）根据频率和为1，列出算式，求出y₀的值；
（2）根据分层抽样原理，求出在寿命为100～300之间的应抽取的个数；
（3）利用列举法求出基本事件的个数，计算所求的概率即可．

解答 解：（1）根据频率和为1，得：
0.001×100+2y₀×100+0.002×100+0.004×100=1，
解得y₀=0.0015；   （3分）
（2）设在寿命为100～300之间的应抽取x个，
根据分层抽样有：
$\frac{x}{20}$=（0.001+0.0015）×100，（5分）
解得：x=5，
所以在寿命为100～300之间的应抽取5个；   （7分）
（3）记“恰好有一个寿命为100～200，一个寿命为200～300”为事件A，
由（2）知，寿命落在100～200之间的元件有2个，分别记为a₁，a₂，
落在200～300之间的元件有3个分别记为：b₁，b₂，b₃；
从中任取2个元件，有如下基本事件：
（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），
（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），
（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₂，b₃）共有10个基本事件；   （9分）
事件A“恰好有一个寿命为100～200，一个寿命为200～300”有：
（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），
（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃）共有6个基本事件；  （10分）
∴P（A）=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，（11分）
即事件“恰好有一个寿命为100～200，另一个寿命为200～300”的概率为$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法与列举法求概率的应用问题，是基础题目．