试题分析:(1)由条件可知,数列
为等差数列,又知
,其通项公式易求,再根根据数列
与数列
的关系
,可求出数列
的通项公式;(2)由(1)中所求的数列
的通项公式,可对
进行化简,然后再对其考察;(3)当
时,结合(1)的结果,可求出
,代入
中,设法对其变形处理,找到
的递推关系再进行判断.
试题解析:
(1)因为
,所以
,所以数列
是以
为公差的等差数列,又
,所以
, 2分
故由
,得
. 4分
(2)因为
,所以
,
又
,所以
, 6分
(ⅰ)当
时,
,解得
,不符合题意; 7分
(ⅱ)当
时,
,解得
或
. 8分
综上所述,当
时,存在正整数
使得
恒成立,且
的最小值为4.
9分
(3)因为
,由(1)得
,
所以
①,
则
②,
由②
①,得
③, 12分
所以
④,
再由④
③,得
,即
,
所以当
时,数列
成等比数列, 15分
又由①式,可得
,
,则
,所以数列
一定是等比数列,且
.
16分
(说明:若第(3)小题学生由前几项猜出等比数列,再代回验证的,扣3分)