Question

【题目】已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．
（1）当a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；
（2）当x∈[﹣a，1）时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=3时，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，

f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，

x＜﹣3时，﹣x+1﹣x﹣3＞6，∴x＜﹣4，

﹣3≤x≤1时，﹣x+1+x+3＞6，无解，

x＞1时，x﹣1+x+3＞6，∴x＞2．

综上所述，x＜﹣4或x＞2，

∴不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}

（2）解：∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1+a，

∴f（x）≤g（a），化为1+a≤a2﹣a﹣2，

∴a2﹣2a﹣3≥0，

∴a≥3或a≤﹣1，

又﹣a＜1，∴a＞﹣1，

∴a≥3．

【解析】（1）若a=3，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，即可得出结论；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），1+a≤a2﹣a﹣2，即可求实数a的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解绝对值不等式的解法(含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号)．